Shortest Path

최단 경로 Shortest Path

보통 그래프를 이용해서 표현

지점은 노드, 도로는 간선

e.g. 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘 Diikstra

특정 노드에서 출발해서 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것

음의 간선이 없을 때 정상적으로 작동

GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 주로 채택

그리디 알고리즘

인접 리스트 이용

-> 노드와 연결된 모든 간선에 대한 정보를 리스트에 저장

 

알고리즘 원리

1) 출발 노드 설정

2) 최단 거리 테이블 초기화(무한)

3) 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택

4) 해당 노드 거쳐 다른 노드로 가는 비용 계산해서 최단 거리 테이블 갱신

5) 3,4번 반복

* 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 항상 1차원 리스트에 저장해서 리스트를 계속 갱신

# 단순한 방식

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

n, m= map(int, input().split())
start=int(input())
graph = [[] for i in range(n+1)]
visited=[False]*(n+1)
distance=[INF]*(n+1)

for _ in range(m):
    a, b, c=map(int, input().split())
    graph[a].append((b,c))

def get_smallest_node():
    min_value=INF
    index=0
    
    for i in range(1,n+1):
        if distance[i]<min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index=i
    return index
    
def dijkstra(start):
    distance[start]=0
    visited[start]=True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]]=j[1]
    for i in range(n-1):
        now = get_smallest_node()
        visited[now]=True
        for j in graph[now]:
            cost=distance[now]+j[1]

            if cost<distance[j[0]]:
                distance[j[0]]=cost

dijkstra(start)

 

개선된 다익스트라 알고리즘

-> 힙 자료구조 이용 Heap

: 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 출발

-> 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드 더욱 빠르게 찾을 수 있음

현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위하여 우선순위 큐를 추가로 이용

 

우선순위 큐

우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제함

파이썬 - PriorityQueue, heapq 사용 (heapq가 더 빠르게 동작)

정수형 자료형의 변수가 사용됨

최대 힙이나 최소 힙을 사용

최단거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체 가능함

import sys
import heapq

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

n, m= map(int, input().split())
start=int(input())
graph = [[] for i in range(n+1)]
distance=[INF]*(n+1)

for _ in range(m):
    a, b, c=map(int, input().split())
    graph[a].append((b,c))

    
def dijkstra(start):
    q=[]
    
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정해서 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0,start))
    distance[start]=0

    while q: # 큐가 비어있지 않으면
    
    	# 가장 최단거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있다면 무시
        if distance[now]<dist:
            continue
            
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost=dist+i[1]
			
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은경우
            if cost<distance[i[0]]:
                distance[i[0]]=cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

 

플로이드 워셜 알고리즘 Floyd-Warshall Algorithm

모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용

단계마다 거쳐 가는 경로를 기준으로 알고리즘을 수행

-> 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없음

다이내믹 프로그래밍

인접 행렬 이용

-> 모든 노드에 대해서 다른 노드로 가는 최소 비용을 2차원 리스트에 저장한 뒤 비용을 갱신해서 최단 거리 계산

INF = int(1e9)

n, m= map(int, input().split())

graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]

# 본인이 본인에게 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b]=0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아 값으로 초기화
for _ in range(m):
	 # a에서 b로 비용 c라고 설정
    a,b,c=map(int, input().split())
    graph[a][b]=c
    
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b]=min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])

 

최단 경로를 찾을 때

노드의 개수가 적은 경우 -> 플로이드 워셜 알고리즘

노드와 간선의 개수가 모두 많은 경우 -> 우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 알고리즘